!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=matrix
!set gl_title=Produit de deux matrices
!set gl_level=H6
:
:
:
:
<div class="wims_defn">
  <h4>
    Dfinition
  </h4>
  Soit \(n\) un entier naturel non nul et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>a</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>,</mo>
    <msub>
     <mi>a</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
    <mo>,</mo>
    <mo>&#8230;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub>
     <mi>a</mi>
     <mi>n</mi>
    </msub>
    <mo>,</mo>
    <msub>
     <mi>b</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>,</mo>
    <msub>
     <mi>b</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
    <mo>,</mo>
    <mo>&#8230;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub>
     <mi>b</mi>
     <mi>n</mi>
    </msub>
   </mrow>
  </math>
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </math>
  nombres rels.
  <br/>
  On appelle <strong>
  produit de la matrice ligne
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mtable>
     <mtr>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>a</mi>
      <mn>1</mn>
     </msub>
    </mtd>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>a</mi>
      <mn>2</mn>
     </msub>
    </mtd>
    <mtd>
     <mo>&#8230;</mo>
    </mtd>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>a</mi>
      <mi>n</mi>
     </msub>
    </mtd>
     </mtr>
    </mtable>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
  par la matrice colonne
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mtable>
     <mtr>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>b</mi>
      <mn>1</mn>
     </msub>
    </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>b</mi>
      <mn>2</mn>
     </msub>
    </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
    <mtd>
     <mo>&#8942;</mo>
    </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
    <mtd>
     <msub>
      <mi>b</mi>
      <mi>n</mi>
     </msub>
    </mtd>
     </mtr>
    </mtable>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
  </strong>
  le nombre rel dfini par
  <div class="wimscenter" class="wims_defn">
    <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>
      <mrow>
       <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mtable>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mn>1</mn>
         </msub>
        </mtd>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mn>2</mn>
         </msub>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>&#8230;</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mi>n</mi>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
      <mo>)</mo>
       </mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mtable>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mn>1</mn>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mn>2</mn>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <mo>&#8942;</mo>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mi>n</mi>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
      <mo>)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mo>=</mo>
      <mrow>
       <munderover>
      <mrow>
       <mo>&#8721;</mo>
       <mtext> </mtext>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>i</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>n</mi>
       </munderover>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mrow>
      <msub>
       <mi>a</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
      <mo>&#8290;</mo>
      <msub>
       <mi>b</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
       </mrow>
      </mrow>
     </mrow>
    </math>
  </div>
  c'est--dire
  <div class="wimscenter">
    <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>
      <mrow>
       <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mtable>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mn>1</mn>
         </msub>
        </mtd>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mn>2</mn>
         </msub>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>&#8230;</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>a</mi>
        <mi>n</mi>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
      <mo>)</mo>
       </mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mtable>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mn>1</mn>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mn>2</mn>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <mo>&#8942;</mo>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <msub>
        <mi>b</mi>
        <mi>n</mi>
         </msub>
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
      <mo>)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mo>=</mo>
      <mrow>
       <mrow>
      <msub>
       <mi>a</mi>
       <mn>1</mn>
      </msub>
      <mo>&#8290;</mo>
      <msub>
       <mi>b</mi>
       <mn>1</mn>
      </msub>
       </mrow>
       <mo>+</mo>
       <mrow>
      <msub>
       <mi>a</mi>
       <mn>2</mn>
      </msub>
      <mo>&#8290;</mo>
      <msub>
       <mi>b</mi>
       <mn>2</mn>
      </msub>
       </mrow>
       <mo>+</mo>
       <mo>&#8230;</mo>
       <mo>+</mo>
       <mrow>
      <msub>
       <mi>a</mi>
       <mi>n</mi>
      </msub>
      <mo>&#8290;</mo>
      <msub>
       <mi>b</mi>
       <mi>n</mi>
      </msub>
       </mrow>
      </mrow>
     </mrow>
    </math>.
  </div>
</div>



<div class="wims_defn">
  <h4>
    Dfinition
  </h4>
  Soit \(m\), \(n\) et \(p\) trois entiers naturels non nuls et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>A</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <msub>
    <mi>a</mi>
    <mrow>
     <mi>i</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>j</mi>
    </mrow>
     </msub>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>,
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <msub>
    <mi>b</mi>
    <mrow>
     <mi>i</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>j</mi>
    </mrow>
     </msub>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>
  deux matrices de dimensions respectives
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>m</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>n</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
  et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>n</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.
  <br/>
  On appelle <strong>matrice produit de \(A\) et \(B\)</strong> la matrice
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>A</mi>
     <mo>&#215;</mo>
     <mi>B</mi>
    </mrow>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <msub>
    <mi>c</mi>
    <mrow>
     <mi>i</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>j</mi>
    </mrow>
     </msub>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>
  de dimensions
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>m</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
  telle que pour tous entiers naturels \(i\) et \(j\) vrifiant
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>m</mi>
   </mrow>
  </math>
  et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>j</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>p</mi>
   </mrow>
  </math>,
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>c</mi>
     <mrow>
    <mi>i</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>j</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mtable>
     <mtr>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
       <mi>i</mi>
       <mo>,</mo>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
       <mi>i</mi>
       <mo>,</mo>
       <mn>2</mn>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
      <mtd>
       <mo>&#8230;</mo>
      </mtd>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
       <mi>i</mi>
       <mo>,</mo>
       <mi>n</mi>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
     </mtr>
    </mtable>
    <mo>)</mo>
     </mrow>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mtable>
     <mtr>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>b</mi>
      <mrow>
       <mn>1</mn>
       <mo>,</mo>
       <mi>j</mi>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>b</mi>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mo>,</mo>
       <mi>j</mi>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
      <mtd>
       <mo>&#8942;</mo>
      </mtd>
     </mtr>
     <mtr>
      <mtd>
       <msub>
      <mi>b</mi>
      <mrow>
       <mi>n</mi>
       <mo>,</mo>
       <mi>j</mi>
      </mrow>
       </msub>
      </mtd>
     </mtr>
    </mtable>
    <mo>)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
</div>

:mathematics/algebra/fr/matrix_prod_1
