!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
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!set gl_title=Covariance
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<div class="wims_defn"><h4>Dfinition</h4>
Soit S une srie statistique  deux variables quantitatives discrtes X et Y de taille <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <msup>
   <mi>&#8469;</mi>
   <mo>*</mo>
  </msup>
 </mrow>
</math> dfinie par <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>S</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>x</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
      <mo>;</mo>
      <msub>
       <mi>y</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
     </mrow>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math>.<br/>
On note <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mover>
  <mi>x</mi>
  <mo>_</mo>
 </mover>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mover>
  <mi>y</mi>
  <mo>_</mo>
 </mover>
</math> les moyennes arithmtiques respectives de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal'>X</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <msub>
     <mi>x</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math> et de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <msub>
     <mi>y</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math>.<br/>
La <strong>covariance de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mi fontstyle='normal'>X</mi>
   <mo>,</mo>
   <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math></strong> est le nombre rel not <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>cov</mi>
  <mo>&#8289;</mo>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mi fontstyle='normal'>X</mi>
   <mo>,</mo>
   <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math> dfini par <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML' display='block'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>cov</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>X</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>n</mi>
   </mfrac>
   <mo>&#8290;</mo>
   <munderover>
    <mrow>
     <mo>&#8721;</mo>
     <mtext> </mtext>
    </mrow>
    <mrow>
     <mi>i</mi>
     <mo>=</mo>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mi>n</mi>
   </munderover>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mi>i</mi>
     </msub>
     <mo>-</mo>
     <mover>
      <mi>x</mi>
      <mo>_</mo>
     </mover>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>y</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
      <mo>-</mo>
      <mover>
       <mi>y</mi>
       <mo>_</mo>
      </mover>
     </mrow>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>.</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</div>
<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit S une srie statistique  deux variables quantitatives discrtes X et Y de taille <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <msup>
   <mi>&#8469;</mi>
   <mo>*</mo>
  </msup>
 </mrow>
</math> dfinie par <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>S</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>x</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
      <mo>;</mo>
      <msub>
       <mi>y</mi>
       <mi>i</mi>
      </msub>
     </mrow>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math> et de covariance <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>cov</mi>
  <mo>&#8289;</mo>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mi fontstyle='normal'>X</mi>
   <mo>,</mo>
   <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>.<br/>
On note <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mover>
  <mi>x</mi>
  <mo>_</mo>
 </mover>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mover>
  <mi>y</mi>
  <mo>_</mo>
 </mover>
</math> les moyennes arithmtiques respectives de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal'>X</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <msub>
     <mi>x</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math> et de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>{</mo>
    <msub>
     <mi>y</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
    <mo>}</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>i</mi>
    <mo>&#8804;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
 </mrow>
</math>.<br/>Alors <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML' display='block'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>cov</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>X</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi fontstyle='normal'>Y</mi>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mfrac>
     <mn>1</mn>
     <mi>n</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#8290;</mo>
    <munderover>
     <mrow>
      <mo>&#8721;</mo>
      <mtext> </mtext>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>i</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mo>&#8290;</mo>
    <msub>
     <mi>x</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
    <mo>&#8290;</mo>
    <msub>
     <mi>y</mi>
     <mi>i</mi>
    </msub>
   </mrow>
   <mo>-</mo>
   <mrow>
    <mover>
     <mi>x</mi>
     <mo>_</mo>
    </mover>
    <mo>&#215;</mo>
    <mrow>
     <mover>
      <mi>y</mi>
      <mo>_</mo>
     </mover>
     <mo>.</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</div>
