!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=gl_deriv
!set gl_title=Convexit
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Spcialit, H6 Gnrale&nbsp;Complmentaire 
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Le plan est muni d'un repre orthogonal <span class="nowrap">
\(\left(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j}\right)\).</span><br>
Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
fonction dfinie sur l'intervalle <span class="nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
On note \(C\) la courbe reprsentative de la fonction \(f\) dans le repre
<span class="nowrap">
\(\left(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).</span><br>
La fonction \(f\) est dite <strong>convexe sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si pour tous points \(\mathrm{A}\) et  \(\mathrm{B}\) de la courbe \(C\) d'abscisses respectives des rels \(a\) et \(b\) de \(\mathrm{I}\) tels que <span class="nowrap">\(a < b\),</span> le segment \([\mathrm{AB}]\) est situ au-dessus de la courbe \(C\) sur l'intervalle  </strong><span class="nowrap">\([a\,;b]\).</span><br>
La fonction \(f\) est dite <strong>concave sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si pour tous points \(\mathrm{A}\) et  \(\mathrm{B}\) de la courbe \(C\) d'abscisses respectives des rels \(a\) et \(b\) de \(\mathrm{I}\) tels que <span class="nowrap">\(a < b\),</span> le segment \([\mathrm{AB}]\) est situ au-dessous de la courbe \(C\) sur l'intervalle  </strong><span class="nowrap">\([a\,;b]\).</span>
</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_1
:
<div class="wims_rem">
<h4>Remarque</h4>
Une fonction qui n'est pas convexe sur \(\mathrm{I}\) n'est pas ncessairement
concave sur <span class="nowrap">\(\mathrm{I}\).</span>
</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_2
:
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
Le plan est muni d'un repre orthogonal <span class="nowrap">
\(\left(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j}\right)\).</span><br>
Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
fonction drivable sur l'intervalle <span class="nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
On note \(C\) la courbe reprsentative de la fonction \(f\) dans le repre
<span class="nowrap">
\(\left(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j}\right)\).</span><br>
La fonction \(f\) est <strong>convexe sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si sa courbe reprsentative \(C\) est entirement situe <strong>au-dessus de
chacune de ses tangentes</strong>.<br>
La fonction \(f\) est <strong>concave sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si sa courbe reprsentative \(C\) est entirement situe <strong>au-dessous de
chacune de ses tangentes</strong>.<br>
</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_3
:
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
fonction drivable sur l'intervalle
<span class="nowrap">\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive \(f^{'}\) est croissante sur <span class="nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est concave sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive \(f^{'}\) est dcroissante sur <span class="nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span>
</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_4
:
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
 Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
 fonction deux fois drivable sur l'intervalle <span style="white-space:nowrap">
 \(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive seconde \(f^{''}\) est positive sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est concave sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive seconde \(f^{''}\) est ngative sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span>

</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_5
